Une petite vidéo estivale, en forme de retour de vacances

Malheureusement, les vacances ne m’ont pas laissé le temps d’écrire un billet de blog aussi complet que je l’aurai voulu sur ce beau sujet. Je vais quand même donner quelques compléments…en m’appuyant sur de vieux billets !

Angle de repos

Parmi les sujets que je n’ai pas développé dans la vidéo, il y a tout d’abord les facteurs qui entrent en compte dans l’angle de repos d’un milieu granulaire. Sur le papier, le principal élément est le coefficient de friction. Intuitivement plus les frottements entre grains sont importants, plus l’angle de repos sera élevé.

Le graphique ci-dessus est obtenu par simulation numérique et est extrait de la publication suivante :

Zhou, Y. C., et al. « Numerical investigation of the angle of repose of monosized spheres. » Physical Review E 64.2 (2001): 021301. Le truc, c’est qu’en pratique les coefficients de friction varient peu, et c’est surtout la forme des grains qui va jouer un rôle. On obtiendra donc des angles de repos différents suivant qu’on a de belles sphères, ou bien des grains plus anguleux.

Vitesse d’écoulement et théorie des arches

Je l’ai dit dans la vidéo, l’eau dans une clepsydre s’écoule selon une loi simple connue comme « loi de Torricelli », et qui relie la vitesse de l’eau à la hauteur de la colonne. La vitesse ne dépend pas du rayon du trou, mais le débit, lui, en dépend évidemment via la surface de l’ouverture, donc

D = \sqrt{2gh}\ \ \pi R^2

Le sable lui s’écoule selon la loi dite de Beverloo

D = C \sqrt{gR}\ \ \pi R^{2} \propto R^{5/2}

Pour comprendre d’où vient la loi de Beverloo, on peut utiliser une observation que l’on retrouve souvent dans les écoulements granulaires : les arches. On sait que du sable dans un cylindre ne se comporte pas comme de l’eau. Si on ajoute du sable supplémentaire en haut de la colonne, son poids ne sera pas supporté par le bas de la colonne (comme avec de l’eau) mais pas les grains intermédiaires qui frottent contre les parois.arches granulaire

Cette friction permet notamment la formation d’arches, c’est-à-dire de structures ressemblant à des clés de voûte, et qui vont soutenir le sable situé plus haut dans la colonne. C’est ce que montre le dessin ci-contre, issu d’une simulation numérique [1]. La couleur représente la pression que supporte chaque bille, et montre clairement que des arches se dessinent d’une paroi à l’autre.

En présence d’un écoulement, les arches provoquent ce qu’on appelle l’écrantage de Janssen : quand le sable s’écoule, de telles arches se font et se défont en permanence. et elles protègent en quelque sorte le bas de la colonne des pressions élevées : c’est ce qui peut expliquer que la vitesse d’écoulement ne soit pas liée à la hauteur de la colonne de sable.

La physique de ces arches a beau être affreusement compliquée, c’est grâce à elles que la vitesse d’écoulement du sablier est constante, le rendant si pratique à utiliser !

Simuler des écoulements granulaires

Petit échauffement avant d’aller plus loin : la loi de Torricelli peut se démontrer simplement à partir du théorème de Bernoulli. Ce dernier s’écrit

\frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h + P = constante

On peut voir ce théorème comme une équation de conservation de l’énergie (volumique), avec trois termes : énergie cinétique, énergie potentielle de pesanteur et pression (je vous laisse vous convaincre que la pression est bien une énergie volumique). Si on applique ce théorème en haut de la colonne, et qu’on dit que la vitesse y est nulle et la pression est celle de l’atmosphère, on trouve que la constante vaut \rho g h + P_0. Si on applique ce théorème au bas d’une colonne dans laquelle le trou est bouché, qu’on écrit que la vitesse y est aussi nulle, on retrouve la fameuse pression hydrostatique P=P_0+\rho g h. Maintenant si on perce un trou, on doit écrire qu’au niveau du trou la pression est celle de l’atmosphère, et on tire donc \frac{1}{2} \rho v^2 +P_0 = \rho g h + P_0, et donc v=\sqrt{2gh}.

Un autre aspect intéressant de ces écoulements granulaires concerne la façon dont on peut simuler un écoulement granulaire « presque » comme un fluide normal. Une astuce imaginée par des équipes françaises [2,3] consiste à décrire l’écoulement granulaire comme un fluide dont la viscosité n’est pas constante, et est reliée à l’existence d’un coefficient de friction local dans le fluide. Cette méthode s’appelle la rhéologie du \mu(I), du nom du coefficient de frottement que l’on utilise. Ces idées ont eu un très fort retentissement dans le domaine des écoulements granulaires.

Pour ceux que ça intéresse, on définit le nombre inertiel I de la manière suivante

I = \frac{\dot{\gamma}d}{\sqrt{P\rho}}

où d est le diamètre des particules, \rho la masse volumique et \dot{\gamma} le taux de cisaillement.

Le coefficient de friction (définit par \mu\equiv\frac{\tau}{P}) est ensuite pris comme une fonction de I

\mu(I)=\mu_S+\frac{\Delta\mu}{I_0/I+1}

avec \mu_S le coefficient de friction statique, et \Delta\mu et I_0 des constantes. On a alors pour la viscosité :

\eta \equiv \frac{\tau}{\dot{\gamma}} = \frac{\mu(I) P}{\dot{\gamma}}.

champ pression sablier mu ICe qu’il y a de fort, c’est qu’avec ces définitions, on peut simuler un écoulement granulaire comme un fluide presque normal (enfin non-newtonien quand même), mais sans simuler le détail de chaque grain. Les résultats sont spectaculaires, car on retrouve par exemple l’effet d’écrantage de la pression, comme sur l’image ci-contre tirée d’une chouette publication d’une autre équipe française [4].

Dans cette image, les couleurs représentent la pression, et on observe très bien que la pression juste au dessus du trou est très réduite comparée à ce que ce cela devrait être pour un fluide comme l’eau.

Avec ces simulations, on peut montrer que l’hypothèse des arches n’est pas nécessaire, ou du moins incomplète ! En effet on se sait expérimentalement que les arches ne peuvent pas se former quand on considère une colonne très large par rapport à sa hauteur, et pourtant l’effet d’écrantage existe quand même. Grâce à la rhéologie du \mu(I), les chercheurs français ont montré que même sans arches (qui ne sont pas simulées dans leur calcul), le fait d’avoir un seuil d’écoulement frictionnel est suffisant pour expliquer la réduction du champ de pression et la loi de Beverloo.

Question ouverte pour ceux qui ont eu le courage de lire jusqu’ici : je n’ai pas réussi à comprendre comment on pouvait à partir de la description du \mu(I) retrouver une description d’un fluide newtonien. J’imagine que ça doit être le cas si on fait tendre les bonnes choses vers les bonnes valeurs (genre diamètre des particules vers 0, friction statique vers 0, etc.). Mais je n’ai pas trouvé…

[1] Carlevaro, C. Manuel, and Luis A. Pugnaloni. « Arches and contact forces in a granular pile. » The European Physical Journal E 35.6 (2012): 1-7.

[2] MiDia, G. D. R. « On dense granular flows. » Eur. Phys. J. E 14 (2004): 341-365.

[3] Jop, Pierre, Yoël Forterre, and Olivier Pouliquen. « A constitutive law for dense granular flows. » Nature 441.7094 (2006): 727-730.

[4] Staron, Lydie, P-Y. Lagrée, and Stéphane Popinet. « The granular silo as a continuum plastic flow: The hour-glass vs the clepsydra. » Physics of Fluids 24 (2012): 103301.

Manipuler la convection granulaire

L’effet « Noix du Brésil » a de nombreuses conséquences naturelles (comme le fait bien connu des paysans que les gros cailloux remontent à la surface d’un champ) mais aussi plusieurs applications industrielles : le mélange des noix bien sûr, mais aussi celui des céréales, du béton, etc. Des chercheurs et des industriels se sont donc demandés s’il était possible de le limiter ou de le supprimer.

Eh bien grâce à leur compréhension du phénomène par la convection granulaire, les chercheurs de Chicago ont pu construire des cas permettant de limiter voire carrément d’inverser la convection granulaire.

Par exemple en diminuant les frottements contre les parois, on peut supprimer le phénomène de descente des grains. Le schéma ci-contre montre une expérience qu’ils ont réalisé [1] où la paroi de droite frotte beaucoup plus que la paroi de gauche : les grains descendent uniquement le long de la paroi de droite. Encore plus fort, en modifiant la géométrie du bocal, on peut inverser la convection granulaire : dans un cône renversé les grosses noix coulent au milieu et les petites remontent par les parois !

Encore beaucoup de travail…

Malgré ces découvertes dans des expériences bien contrôlées, il existe encore de très nombreuses zones d’ombre sur les phénomènes réellement en jeu dans l’effet « Noix du Brésil ». En voici une illustration étonnante.

A priori, on peut penser que dans ce phénomène, l’air ne joue aucun rôle. Il est notamment beaucoup moins dense que les grains. Et pourtant, S. Nagel et sa bande (toujours eux) ont montré que sous vide, le phénomène est sensiblement modifié [2].

A pression atmosphérique, ils ont constaté que la vitesse d’ascension des grosses particules dépend de leur densité, avec un maximum quand la densité des grosses est égale à la moitié de celle des petites. Mais sous vide, cette dépendance disparaît ! Donc l’air joue bien un rôle subtil dans la convection granulaire, via les frottements qu’il peut imposer aux grains. L’effet « Noix du Brésil » est encore loin d’avoir livré tous ses mystères !

[1] S. Nagel et al., « Vibration-indiced size separation in granular media : the convection connexion », Physical Review Letters, Vol. 70, N. 24 (1993) p3728.

[2] Matthias E. Möbius et al., “The Effect of Air on Granular Size Separation in a Vibrated Granular Bed”, Phys. Rev. E 72, 011304, (2005) / cond-mat/0502622.

Pour aller plus loin : quelques considérations thermodynamiques

Le phénomène de ségrégation par la taille dans les milieux granulaires est assez intriguant. Dans un fluide normal, le fait de secouer provoque un mélange et une homogénéisation, donc une augmentation de l’entropie. Dans les milieux granulaires, c’est l’inverse. Puisqu’en secouant on sépare les grains par taille, on fait diminuer l’entropie !

Pour résoudre ce paradoxe, il faut réaliser que dans un système comme celui-ci, on est très très loin des conditions de l’équilibre thermodynamique. Pour s’en convaincre, on peut comparer les ordres de grandeur des énergies mises en jeu.

Dans un gaz classique, le produit kT de la constante de Boltzmann par la température donne l’ordre de grandeur de l’énergie d’une particule du gaz. Dans le milieu granulaire, c’est très différent. Si on regarde la variation de l’énergie potentielle de gravité d’un grain qui tombe sur une hauteur égale à sa taille, on obtient mgd, où m est sa masse, g l’accélération de la gravité et d son diamètre.

Pour un grain de semoule, on trouve environ 10^-8 joules. Mais à température ambiante, kT = 4.10^-21 joules ! Donc l’énergie du grain est beaucoup beaucoup plus élevée que l’énergie thermique, ce qui nous permet de comprendre qu’on puisse se situer si loin de l’équilibre thermodynamique.