casimirsCela fait plusieurs fois ces derniers temps que je vous parle de l’énergie du vide, sous une forme ou sous une autre.

Je vous ai déjà expliqué qu’en cosmologie, l’expansion accélérée de l’Univers peut s’interpréter comme étant due à une forme d’énergie du vide (voir ce billet).

Par ailleurs, du côté de l’infiniment petit, la théorie quantique des champs prédit justement que le vide doit posséder une énergie.

Mais manque de bol, comme je le racontais dans ma vidéo sur le sujet, l’énergie du vide prédite par la théorie quantique est 10^{120} fois trop élevée pour expliquer l’expansion de l’Univers que l’on observe expérimentalement !

Aujourd’hui je voudrai revenir justement sur cette facette quantique de l’énergie du vide. Les calculs de la théorie quantique des champs conduisant à une valeur aussi ridiculement élevée, on est en droit de penser qu’il y a quelque chose de fondamentalement faux dans le raisonnement qui conduit à cette énergie du vide « quantique ».

Or il se trouve qu’il existe une expérience qui permet de mettre en évidence une conséquence bien réelle de cette énergie quantique du vide : l’effet Casimir.

Dans ce billet, je vais vous présenter ce qu’est l’effet Casimir, comment il découle de la théorie quantique des champs, et en plus vous allez voir qu’il va nous permettre de reparler de l’infâme et immonde somme

\displaystyle 1+2+3+4+5+6+\cdots = -\frac{1}{12}

L’effet Casimir a été baptisé ainsi non pas en référence au personnage de l’île aux enfants, mais au physicien hollandais Hendrik Casimir, qui travaillait à l’époque chez Philips. L’effet Casimir, c’est le fait que dans un vide parfait, deux plaques métalliques parfaitement conductrices doivent s’attirer avec une force inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare, et ce…à cause de l’énergie du vide !

Prédit en 1948 par Casimir, cet effet n’a été observé expérimentalement pour la première fois qu’en 1997. Alors pour comprendre comment Casimir en est arrivé là grâce à ses calculs, revenons d’abord sur ce qu’est cette mystérieuse énergie du vide qui apparaît en mécanique quantique.

Un simple ressort

Considérez le problème simple d’une masse m placée à l’extrémité d’un ressort de raideur k. On va négliger la gravité et toute forme de frottement.

Je pense que c’est au programme du lycée scientifique de montrer que si on met la masse en mouvement, elle va osciller autour de sa position d’équilibre à une fréquence (ou plutôt une pulsation)

\displaystyle\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.

Un autre truc simple qu’on peut écrire sur ce système (toujours programme de lycée je pense), c’est son énergie mécanique totale : la somme de son énergie cinétique (qui dépend de la vitesse v) et de l’énergie potentielle élastique du ressort, qui dépend de l’élongation x du ressort

\displaystyle E=\frac12 mv^2 + \frac12kx^2

Vous voyez sur cette expression que l’énergie mécanique est minimale et nulle quand v=0 et x=0, c’est-à-dire quand la masse est immobile dans la position où le ressort a une élongation nulle.

Ça paraît normal, non ?

energie ressort

Un ressort quantique

Maintenant imaginez que le ressort que nous venons de considérer soit microscopique, et obéisse donc aux lois de la mécanique quantique. Le principe d’incertitude de Heisenberg nous dit qu’un objet quantique ne peut pas avoir simultanément une position et une vitesse parfaitement définies. Donc en particulier la position et la vitesse de notre masse ne peuvent pas être toutes les deux nulles en même temps : cela implique que l’énergie mécanique totale de notre ressort (je devrais plutôt dire « oscillateur harmonique ») ne pourra jamais être parfaitement égale à 0.

On peut interpréter ça en disant que les fluctuations quantiques de la position et de la vitesse contribueront à un minimum d’énergie, même quand le ressort est supposément au repos. On appelle ce minimum l’énergie de point zéro.

Il faut savoir que même sans faire les véritables calculs de la mécanique quantique, on peut quand même estimer avec les mains la valeur de ce minimum d’énergie. Le principe d’incertitude de Heisenberg nous dit qu’au mieux on a px\approx\hbar donc

\displaystyle mvx \sim \hbar

On peut alors en tirer que v vaut au minimum \hbar/mx, injecter ça dans l’expression de l’énergie mécanique totale et minimiser par rapport à x. Je vous passe les calculs mais on trouve alors que l’énergie minimum d’un oscillateur harmonique quantique est égale à

\displaystyle E_0 = \frac12\hbar\omega

où je vous le rappelle \omega est la fréquence de l’oscillateur.

Un champ électromagnétique quantique

Considérez maintenant le champ électromagnétique. On peut toujours voir toute onde électromagnétique comme la superposition d’ondes possédant chacune une fréquence bien définie, et qui obéissent à des équations qui sont analogues à celles d’un oscillateur harmonique. Evidemment je vous demande de me croire sur parole, mais on peut montrer que si l’on prend en compte les effets quantiques, le champ électromagnétique possède lui aussi une énergie de point zéro égale à

\displaystyle \frac12\hbar\omega

pour chacune de ses fréquences \omega possibles. Cette énergie minimale du champ électromagnétique quantique sera là quoi qu’il arrive, même si on est dans le vide parfait, dans lequel a priori aucune onde électromagnétique ne se propage. Cette énergie de point zéro se comporte donc comme une forme d’énergie du vide.

casimir-706x530-1425276452Evidemment vous voyez sans doute le problème : puisqu’il y a un nombre infini de fréquences possibles, tout ça nous fait une énergie du vide infinie ! Mais faisons mine d’ignorer cette difficulté pour l’instant.

Pour rendre un peu moins critique le problème des infinis, on peut s’amuser à réduire les fréquences possibles en enfermant notre champ électromagnétique entre deux plaques métalliques. En effet sur des plaques parfaitement conductrices, le champ électrique doit s’annuler : ainsi les fréquences susceptibles de s’établir entre deux plaques parallèles sont limitées, de la même manière qu’une corde de guitare attachée en ses deux extrémités ne vibre qu’à certaines fréquences.

quantification corde

Pour une guitare, les fréquences possibles sont les multiples de sa fréquence fondamentale. Eh bien pour le champ électromagnétique c’est pareil : si x désigne la distance entre les deux plaques, les seules fréquences du champ électromagnétique susceptibles d’exister sont les multiples entiers de la fréquence fondamentale

\displaystyle \omega_0 = \cfrac{\pi c}{x}

c est la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques, c’est-à-dire la vitesse de la lumière !

Si on calcule l’énergie du vide totale qui se trouve entre deux plaques métallique, on trouve donc

\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac12 \hbar (n\omega_0) = \frac12\hbar\omega_0\left(\sum_{n=1}^{+\infty} n\right)

Evidemment, tout ceci est encore méchamment infini, mais vous allez voir qu’on peut quand même en faire quelque chose !

Plus il y a de fréquences qui peuvent exister, plus l’énergie de point zéro sera élevée. Or intuitivement on sent que si on rapproche les deux plaques, il y a de moins en moins de modes qui vont pouvoir s’établir, donc cela va faire diminuer l’énergie. Or qui dit « possibilité de baisser l’énergie en bougeant » dit « force ».

Voici donc l’argument intuitif pour l’effet Casimir : deux plaques métalliques parfaitement conductrices placées dans le vide vont s’attirer car leur rapprochement permet de minimiser l’énergie de point zéro du champ électromagnétique dans la cavité.

Tout ça c’est très bien, mais pour l’instant je ne fais qu’agiter les mains et écrire des équations qui valent toujours l’infini. Alors est-ce que l’on peut calculer quelque chose de raisonnable et mesurable expérimentalement pour cette force ? Casimir nous dit que oui !

Le raccourci 1+2+3+4+5+…=-1/12

Un peu plus bas, je vais détailler pour ceux que ça intéresse le calcul véritable tel que l’avait plus ou moins proposé Casimir. Mais avant je voudrais vous montrer un raccourci qui va nous donner la réponse tout de suite en deux lignes ! Si vous vous intéressez un peu à la vulgarisation scientifique (ce que je suppose si vous avez tenu jusque là), vous n’avez pas échappé aux nombreux débats qu’il y a eu il y a quelques mois au sujet de apparemment absurde affirmation que la somme de tous les entiers jusqu’à l’infini était égale à -1/12.

\displaystyle \sum_n n = -\frac{1}{12}

Je ne vais pas revenir sur les raisons pour lesquelles cette affirmation n’est pas complètement débile, j’en ai déjà longuement parlé ici, mais je vais vous illustrer le fait que ce résultat peut servir en physique.

Reprenons le calcul de l’énergie de point zéro totale qui se trouve entre deux plaques métalliques parfaitement conductrices est donc a priori

\displaystyle \frac12\hbar\omega_0 \left(\sum_{n=1}^{+\infty} n\right) = \frac12 \frac{\hbar c \pi}{x}\left(\sum_{n=1}^{+\infty} n\right)

Si j’applique mon égalité infâme qui dit que la somme de tous les entiers vaut -1/12, je trouve pour l’énergie de point zéro en fonction de la distance x entre les plaques

\displaystyle E(x) = -\frac{\pi\hbar c}{24 x}

La force de Casimir

Nous avons grâce à notre raccourci obtenu une expression finie pour l’énergie du vide contenue entre deux plaques parallèles infinies parfaitement conductrices. On voit bien que l’énergie diminue quand les plaques se rapprochent, signe qu’il existe une force attractive entre elles.

On peut voir cette énergie comme une énergie « potentielle », et classiquement l’expression de la force s’obtient en dérivant par rapport à x, on trouve

\displaystyle F(x) = \frac{\pi\hbar c}{24 x^2}

Et vous avez là l’expression de la force de Casimir, qui n’est pas du tout infinie. On peut calculer sa valeur pour une distance donnée; et comme je vous le disais en introduction, cette force a été observée expérimentalement et les valeurs mesurées pour la force en fonction de la distance sont en accord avec la prédiction théorique !

(Pour les curieux : Bressi, Giacomo, et al. « Measurement of the Casimir force between parallel metallic surfaces. » Physical review letters 88.4 (2002): 041804.)

Donc deux conclusions étonnantes s’imposent :

Premièrement, l’énergie du vide semble bel et bien exister, puisqu’on est capables d’en détecter ses manifestations, et notamment ses variations à travers la force de Casimir.

Deuxièmement, l’immonde somme 1+2+3+4+5+…=-1/12 n’est pas totalement absurde, puisqu’elle trouve au moins une utilisation valide en physique.

Quelques précautions oratoires quand même sur le sens de ce résultat. L’utilisation de la somme en question doit vraiment être vue comme un raccourci : il existe en effet plusieurs manières plus propres de faire véritablement le calcul, et je vous en présente une ci-dessous dans la section « Pour aller plus loin… ». Et bien sûr, même si utiliser cette série divergente permet de simplifier certains calculs, ça ne signifie pas que « la somme 1+2+3+4+5+…=-1/12 est démontrée expérimentalement » comme on l’entend parfois !

Les séries divergentes sont un outil mathématique, qui se trouve être utile en physique, s’il est bien utilisé.

Et pis c’est tout.


Pour aller plus loin… : Le vrai calcul détaillé !

Pour calculer l’intensité de la force de Casimir, j’ai utilisé le raccourci de l’infâme série divergente \sum n = -1/12. Or la valeur de la force qu’on trouve en faisant est la bonne, la vraie valeur mesurée expérimentalement. Cela nous dit que malgré son caractère douteux, le fait d’utiliser cette somme doit quand même vaguement correspondre à quelque chose de raisonnable.

Et c’est le cas. Le fait d’utiliser cette somme est un raccourci qui permet de faire en rapide ce que l’on peut faire de manière plus propre et plus longue : un calcul régularisé. C’est ce que je vais vous faire ci-dessous : on va retrouver la même bonne valeur, mais en ne faisant que des opérations mathématiques légales, et en utilisant des petites hypothèses physiques afin de pouvoir donner un sens aux infinis.

Voyons le calcul dans les détails, sans utiliser l’infâme série divergente. Prenons donc deux plaques infinies parfaitement conductrices placées dans le vide, et puis on va faire le calcul dans seulement une dimension au lieu des 3 habituelles. Pour commencer on va supposer que seule l’une des deux plaques peut bouger (on se place dans le référentiel de la première si vous voulez). On note donc x la distance entre les deux.

Pour pallier au problème des infinis, on va imaginer que les plaques ont une épaisseur finie a. Dans ces conditions, il est vraisemblable que notre calcul va devoir être modifié par le fait que les fréquences très élevées (et donc les longueurs d’ondes très courtes) vont être sensibles à cette épaisseur non-nulle des plaques.

Une manière classique de prendre en compte cet effet est de régulariser la série divergente en introduisant un facteur d’atténuation, c’est-à-dire de supposer que l’énergie de point zéro décroit exponentiellement quand la longueur d’onde approche l’épaisseur a. Avec cette hypothèse, l’énergie régularisée du mode n vaut

\displaystyle\frac12 \hbar \omega_n e^{-a/\lambda_n}

où la fréquence du mode n est

\displaystyle\omega_n = \frac{n\pi c}{x}

tandis que sa longueur d’onde est

\displaystyle\lambda_n = \frac{2x}{n}

On obtient donc pour l’énergie totale régularisée pour des plaques d’épaisseur a situées à distance x

\displaystyle E_a(x) =\sum_n \frac12 \frac{\hbar \pi c}{x} n \exp\left(-\frac{an}{2 x}\right)

Pour les forts en maths, on peut facilement calculer cette somme, comme étant la dérivée d’une série géométrique de raison r=e^{-a/2x}, un truc du genre

\displaystyle\sum_n n r^n = r \frac{d}{dr}\left(\sum_n r^n\right)= r \frac{d}{dr} \frac{1}{1-r} = \frac{r}{(1-r)^2}

Je vous épargne le calcul détaillé, on trouve

\displaystyle E_a(x) = \frac12\hbar\frac{\pi c}{x} \frac{e^{-a/2x}}{(1-e^{-a/2x})^2}

Ensuite puisqu’on va s’intéresser à faire tendre l’épaisseur des plaques vers 0, on peut se prendre le développement limité pour les petites valeurs de a. Il est un peu taquin, mais si on s’y met gentiment on trouve

\displaystyle E_a(x) = \frac{\hbar\pi c x}{2a^2} - \frac{\hbar\pi c}{24x} + ...

Maintenant pour s’en sortir, on va utiliser une astuce. On va imaginer qu’il existe une troisième plaque située à distance L de la première, avec L très grand par rapport à x.

L’énergie totale du système est donc

\displaystyle E_a(x) + E_a(L-x) = \frac{L \hbar\pi c}{2a^2} -\frac{\hbar\pi c}{24x} + \frac{\hbar \pi c}{24(L-x)}

Évidemment, si on fait tendre a vers 0, tout ceci est encore méchamment infini. Mais ce qui nous intéresse n’est pas l’énergie, mais la force qui comme de coutume peut s’écrire comme le gradient de l’énergie. On trouve

\displaystyle F(x) = \frac{\hbar\pi c}{24x^2} + \frac{\hbar\pi c}{24(L-x)^2}

qui miraculeusement ne dépend plus de a ! Evidemment, elle dépend encore de L, mais puisqu’on a supposé que L était très grand devant x, on peut l’envoyer à l’infini et on récupère au final

\displaystyle F(x) = \frac{\hbar \pi c}{24x^2}

Vous voyez qu’en utilisant un schéma de régularisation adéquat supposant une épaisseur a finie des plaques et une distance L pour la troisième plaque, puis en se débarrassant de a et L en les faisant tendre respectivement vers 0 et vers l’infini, on trouve une valeur finie (et correcte !) pour la force de Casimir.

Évidemment, vous êtes en droit de penser que si on avait utilisé un schéma de régularisation différent, on aurait trouvé un résultat différent. Eh bien non, pas vraiment. Le résultat est relativement insensible au schéma de régularisation, et le fait d’utiliser la série divergente est une manière rapide d’accéder directement au résultat qu’on aurait en faisant une régularisation propre.