La vidéo du jour est courte, mais elle présente un sujet qui m’est cher : comment sait-on que les superpositions quantiques sont de « véritables » superpositions ?

Le sujet de cette vidéo est en fait né de la préparation d’une future vidéo sur la décohérence quantique. Quand on parle de superposition quantique, on dit généralement que la signature de la superposition, c’est la capacité à réaliser des interférences. Et c’est effectivement bien illustré dans le cas des interférences qu’on peut produire avec des électrons et des fentes d’Young. On a bien un phénomène d’interférences car ce qu’il se produit quand les deux fentes sont ouvertes n’est pas la somme de ce qu’il se produit quand chacune des deux l’est, ce qui nous conduit à dire que d’une certaines manière, l’électron est passé par les deux fentes à la fois.

Mathématiquement, ça vient du fait que l’amplitude de probabilité associée à la somme des deux configurations n’est pas la somme des amplitudes de chacune

\(|\Psi_1 + \Psi_2|^2 \neq |\Psi_1|^2 + |\Psi_2|^2\)

Mais si vraiment les interférences sont un moyen générique de mettre en évidence les  superpositions, alors il devrait être possible de faire des interférences avec n’importe quel système quantique ? Et en particulier dans le cas simple d’un système à deux états (alias un qbit). Je me suis donc demandé quelle était l’expérience minimale que je pouvais imaginer, dont les résultats mettent en évidence des interférences sur un système à deux états, et ce de la façon la plus immédiate et spectaculaire possible (de façon analogue à ce que j’avais raconté sur le gateau quantique pour les inégalités de Bell).

Je voulais quelque chose de très simple, qui si on en présente les résultats à quelqu’un lui fasse reconnaitre que oui, effectivement, le phénomène de superposition est bien « réel », et par ça j’entends qu’il ne s’agit pas d’une simple ignorance de l’état réel du système. C’est comme ça que j’en suis arrivé à imaginer mon expérience de pensée avec la machine et les pièces quantiques.

Cette façon de formuler correspond à ma connaissance à la manière la plus simple possible d’illustrer les interférences : une observable, deux états classiques, et un résultat maximalement contre-intuitif.

Comme je l’évoque dans la vidéo, ma « machine » réalise en fait une opération assez simple : une rotation de \(\pi/4\) dans l’espace de Hilbert des états. Or les rotations de ce genre sont facile à obtenir par des opérateurs d’évolution. Détaillons un peu ça pour ceux qui le souhaitent.

Une rotation dans un espace de Hilbert à deux états est simplement représentée par une matrice de \(SU(2)\)

C’est donc une transformation unitaire (comme doit l’être un opérateur d’évolution), et on peut donc se demander comment l’engendrer comme un opérateur d’évolution. Pour cela il nous faut un hamiltonien puisqu’on a

\(U = \exp(\frac{i}{\hbar} H t)\)

Il y a heureusement un théorème qui nous dit que toute matrice unitaire peut se mettre sous forme exponentielle. Ici on va prendre un hamiltonien de la forme

Il s’agit d’une certaine manière un des plus simple hamiltonien qu’on puisse imaginer et qui couple autant que possible les deux états de base du système. Une fois exponentié, ce hamiltonien va donc engendrer un opérateur d’évolution qui est une simple rotation dans l’espace de Hilbert des états, l’angle de la rotation étant proportionnel au temps d’action \(t\).

Si on fait agir ce hamiltonien pendant un temps tel que \(\theta=\pi/4\), on obtient une évolution qui est ce que je voulais dans la vidéo. Les états de base \(|P \rangle \) et \(|F\rangle\) sont envoyés sur des superpositions, tandis qu’un état superposé \(|P\rangle+ |F\rangle\) sera envoyé sur \(|P\rangle\) (ou \(|F\rangle \) suivant le sens dans lequel on tourne).

En prenant d’autres valeurs de \(\theta\), on parcours toutes les valeurs intermédiaires dans les proportions mesurées, ce qui correspond à tout le « dégradé » entre noir et blanc qu’on a quand on fait des interférences avec des franges.